Réduction polynomiale
 |
Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.
Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (.
|
Sommaire |
Définition
Dans le cadre des langages formels pour les problèmes de décision, on dit qu'un langage 
est réductible en temps polynomial à un langage 
(noté 
) s'il existe une fonction calculable en temps polynomial 
telle que pour tout 
, 
si et seulement si 
. On appelle la fonction 
la fonction de réduction, et un algorithme polynomial qui calcule est appelé algorithme de réduction.
Relation entre un problème de décision et son langage associé
Codage
Soit 
un problème de décision. Les instances de ce problème sont des objets abstraits au sens où leur définition est purement mathématique. Pour permettre l'implémentation de ce problème, elles doivent être cependant représentées sous une forme compréhensible par le programme. Ici intervient la notion de codage. On définit une fonction de codage 
d'un problème de décision comme étant une application injective qui associe à l'ensemble des instances abstraites de un élément de 
. Ainsi, lorsqu'un programmeur code un problème, les variables représentant les instances du problème sont traduites (par le compilateur dans le cas des langages statiques, par l'interpréteur dans le cas des langages dynamiques) en langage binaire. Le codage est donc un moyen de passer d'un problème abstrait à un problème concret. De fait, si la solution à une instance de problème de décision abstrait 
est 
, alors la solution de l'instance du problème concret 
est aussi 
. Un léger problème se pose cependant : il est possible que des éléments de ne correspondent à aucune instance du problème (autrement dit, qu'ils n'ont aucun antécédent). Par commodité, on supposera que toute chaîne de ce type a pour image 0.
Relation entre les problèmes de décisions et les algorithmes qui les résolvent
- Un algorithme
accepte une chaîne 
si, étant donné une entrée 
, l'algorithme sort 
- Un algorithme rejette une chaîne si
.
accepte une chaîne 
.Langage accepté
- Le langage accepté par un algorithme est l'ensemble des chaînes acceptées par l'algorithme, soit
.
.Langage décidé
- Un langage
est décidé par un algorithme si toute chaîne binaire n'appartenant pas à est rejetée par .
Classe de complexité et langage
On peut, de manière informelle définir une classe de complexité comme un ensemble de langages dont l'appartenance est déterminée par une mesure de la complexité d'un algorithme qui détermine si une chaîne donnée 
appartient au langage 
. Ainsi la classe de complexité 
peut-être définie comme étant l'ensemble des langages sur qui sont décidés par un algorithme en temps polynomial.
Utilité
La notion de réduction en temps polynomial est utilisée dans le cadre de la théorie de la complexité des algorithmes pour permettre la classification des problèmes. Elle permet en effet de montrer de manière formelle, et en un temps polynomial, qu'un problème est au moins aussi difficile qu'un autre : si alors n'est pas plus difficile que , ou dit de manière plus théorique : et ont la même classe de complexité.
