Programmation dynamique
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La programmation dynamique est une technique algorithmique pour optimiser des sommes de fonctions monotones croissantes sous contrainte.
Elle a été désignée par ce terme pour la première fois dans les années 1940 par Richard Bellman. Elle s'applique à des problèmes d'optimisation dont la fonction objectif se décrit comme « la somme de fonctions monotones croissantes des ressources ».
Elle a d'emblée connu un grand succès, car la plupart des fonctions économiques de l'industrie étaient de ce type : maximisation du tonnage de charbon (ou de barils de pétrole) produit à partir de plusieurs puits à budget donné, par exemple.
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Principe
La programmation dynamique s'appuie sur un principe simple : toute solution optimale s'appuie elle-même sur des sous-problèmes résolus localement de façon optimale[1]. Concrètement, cela signifie que l'on va pouvoir déduire la solution optimale d'un problème en combinant des solutions optimales d'une série de sous problèmes. Les solutions des problèmes sont étudiées 'de bas en haut', c'est-à-dire qu'on calcule les solutions des sous-problèmes les plus petits pour ensuite déduire petit à petit les solutions de l'ensemble.
Par exemple pour optimiser la production de 30 puits à budget donné, on optimise la gestion de 2 puits pour tout budget inférieur ou égal[2], puis on considère l'ensemble comme un puits unique et on ajoute les puits suivants un par un.
Un autre exemple est le problème du sac à dos.
Utilisation
La programmation dynamique est très souvent applicable dans un cadre industriel pour deux raisons :
- la nature additive (variable extensive) de la monnaie
- la loi des rendements décroissants sur la plupart des postes de production
Quelques exemples concrets :
- Optimiser la production d'un bassin minier en fonction des ressources sur chaque puits
- Optimiser le nombre de consommateurs touchés par une campagne publicitaire en répartissant le budget sur différents médias, ou au contraire en le concentrant (média-planning).
C'est la programmation dynamique — et non des considérations de respect des riverains d'un aéroport — qui conduisit à faire monter les avions civils et militaires le plus rapidement possible jusqu'à leur altitude de croisière. Cette technique montre en effet que c'est ce qui minimise tant la consommation générale de carburant que la rentabilisation du capital de l'appareil.
Applications algorithmiques
- Le problème des skieurs constitue une application : il s'agit de distribuer m skis à n skieurs (m>n) en minimisant les écarts de taille entre les skis et les skieurs. La propriété d'optimalité des sous-structures (si une distribution est optimale, alors toute sous partie des skis et des skieurs est optimale) le rend traitable par programmation dynamique.
- Le problème du sac à dos (knapsack en anglais) est un problème classique de recherche opérationnelle qui est NP-difficile, mais qui est résolu de manière pseudo-polynomiale à l'aide d'un algorithme de programmation dynamique.
- Le problème du rendu de monnaie dans le cas général .
- Il permet aussi de calculer la plus longue sous-suite commune entre deux chaînes.
- Un autre exemple est le calcul de la distance de Levenshtein.
Articles connexes
La programmation dynamique a, compte-tenu de ses nombreux succès, fait disparaître du programme de la plupart des écoles d'ingénieurs une partie des mathématiques qui visait au même résultat par d'autres moyens : le calcul des variations.
Le temps d'exécution d'un algorithme de programmation dynamique peut être calculé grâce au théorème fondamental.
Martelli a démontré en 1976 que tout algorithme de programmation dynamique pouvait se ramener à la recherche du plus court chemin dans un graphe (A. Martelli. An application of heuristic search methods to edge and contour detection. Comm. ACM, 19(2):73--83, February 1976). Or, les techniques de recherche heuristique basées sur l'algorithme A* permettent d'exploiter les propriétés spécifiques d'un problème pour gagner en temps de calcul. Autrement dit, il est souvent plus avantageux d'exploiter un A* que d'utiliser la programmation dynamique.
Notes et références
- Attention : l'inverse n'est pas vrai en général et un ensemble de sous-solutions chacune optimale ne garantit pas un résultat général lui-même optimal
- par valeurs discrètes pour des raisons pratiques, mais un millier de valeurs sont en général suffisantes
Voir aussi
Articles connexes
- Invariant dans un algorithme
- Algorithme de Viterbi
- Distance de Levenshtein
- Commande optimale
