Couple (physique)

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De manière générale, en physique, on appelle couple tout système d'actions mécaniques dont la résultante $\vec{R}$ est nulle et le moment résultant $\vec{M}_0$ par rapport à un point $O$ est non nul. Ce moment est alors indépendant du point $O - Wikipedia Orange$ , comme démontré ci-dessous.

En mécanique, un couple est l'effort en rotation appliqué à un axe. Il est ainsi nommé en raison de la façon caractéristique dont on obtient ce type d'action : un bras qui tire, un bras qui pousse, les deux forces étant égales et opposées. Lorsque le couple ne s'exerce pas rigoureusement dans l'axe, il se produit une rotation de cet axe (précession).

Sommaire

1 Unité de mesure
2 Propriété fondamentale du couple
3 Représentations d'un couple
- 3.1 Représentation la plus simple
- 3.2 Exemples d'autres représentations
4 Articles connexes

Unité de mesure

On mesure le couple en newtons-mètre (N·m). L'unité de travail, le joule (J), est homogène au newton-mètre : un couple de 1 N·m appliqué à un axe qui tourne d'un tour représente un ajout d'énergie de 2 $\pi - Wikipedia Orange$ J. On le représente par un vecteur dans l'axe de rotation, vers le haut pour une rotation dans le sens trigonométrique (qui est l'inverse du sens des aiguilles d'une montre), comme la vitesse de rotation.

Par rapport à un mouvement rectiligne, on a les analogies suivantes :

force F (en N)	couple C (en N·m)
masse m (en kg)	moment d'inertie I (en kg·m²)
vitesse v (en m/s)	vitesse angulaire ω (en rad/s)
énergie cinétique E = 1/2 m·v² (en joules)	énergie cinétique E = 1/2 I ω² (en joules)
puissance P = F·v (en watts)	puissance P = C·ω (en watts)
accélération a = F/m (m/s²)	accélération angulaire C/I (rad/s²)

Propriété fondamentale du couple

Moment d'une force

Le moment d'une force F, par rapport à un point O, dont le point d'application est au point M, est défini par :

$\vec{\mathcal{M}}_O \ = \ \vec{OM} \wedge \vec{F}(M) - Wikipedia Orange$

Un théorème général

Supposons le système d'actions mécaniques représentable par un ensemble dénombrable de forces $\vec{F}_i$ où l'indice $\ i = 1, \cdots, n - Wikipedia Orange$ . Pour ce système d'actions mécaniques, le moment résultant est :

$\vec{\mathcal{M}}_O \ = \ \sum_{i=1}^n \ \vec{\mathcal{M}}_i \ = \ \sum_{i=1}^n \ \vec{OM}_i \wedge \vec{F}_i(M_i)$

Calculons alors le moment résultant par rapport à un autre point A :

$\vec{\mathcal{M}}_A \ = \ \sum_{i=1}^n \ \vec{AM}_i \wedge \vec{F}_i(M_i) - Wikipedia Orange$

On écrit que chaque vecteur position se décompose comme suit :

$\vec{AM}_i \ = \ \vec{AO} \ + \ \vec{OM}_i - Wikipedia Orange$

d'où le moment résultant :

$\vec{\mathcal{M}}_A \ = \ \sum_{i=1}^n \ \vec{AO} \wedge \vec{F}_i(M_i) \ + \ \sum_{i=1}^n \ \vec{OM}_i \wedge \vec{F}_i(M_i) - Wikipedia Orange$

La seconde somme représente le moment résultant en O. De plus, dans la première somme, le vecteur $\vec{AO} - Wikipedia Orange$ est indépendant de l'indice i ; on peut donc le sortir de la somme et écrire :

$\sum_{i=1}^n \vec{AO} \wedge \vec{F}_i(M_i) \ = \ \vec{AO} \wedge \left[ \sum_{i=1}^n \vec{F}_i(M_i) \right] - Wikipedia Orange$

La somme qui apparait n'est autre que la résultante des forces :

$\vec{R} \ = \ \sum_{i=1}^n \vec{F}_i(M_i) - Wikipedia Orange$

d'où le théorème général :

$\vec{\mathcal{M}}_A \ = \ \vec{\mathcal{M}}_O \ + \ \vec{AO} \wedge \vec{R} - Wikipedia Orange$

Cas particulier du couple

Le couple étant un système d'actions mécaniques dont la résultante $\vec{R} - Wikipedia Orange$ est nulle, son moment résultant est indépendant du point choisi pour le calculer :

$\vec{\mathcal{M}}_A \ = \ \vec{\mathcal{M}}_O - Wikipedia Orange$

On utilise souvent la notation $\vec{\Gamma} - Wikipedia Orange$ pour représenter le moment résultant d'un couple. Compte-tenu du résultat précédent, il n'est en effet pas nécessaire de préciser le point choisi pour calculer le moment.

Représentations d'un couple

Il existe une infinité de représentations différentes d'un même couple $\vec{\Gamma} - Wikipedia Orange$ donné.

Représentation la plus simple

La plus simple, qui lui donne son nom, consiste à considérer un ensemble de deux forces :

l'une, $\vec{F}_1$ , appliqué en un point $M_1$ différent de l'origine $O - Wikipedia Orange$ fixée.

l'autre, $\vec{F}_2 \ = \ - \ \vec{F}_1$ , appliqué en un point $M_2$ symétrique du point $M_1$ par rapport à l'origine $O - Wikipedia Orange$ .

Ainsi, la résultante $\vec{R} \ = \ \vec{F}_1 \ + \ \vec{F}_2 \ = \ \vec{0}$ est bien nulle. On suppose de plus que les vecteurs $\vec{F}_1$ et $\vec{F}_2$ ne sont pas colinéaires au vecteur $\vec{M_1M_2} - Wikipedia Orange$ ; le cas le plus simple consiste à prendre les deux forces perpendiculaires à ce vecteur :

Si on note la distance $|| \vec{OM}_1 || = || \vec{OM}_2 || = d$ , la norme des forces $|| \vec{F}_1 || = || \vec{F}_2 || = F$ , et $\vec{u} - Wikipedia Orange$ le vecteur unitaire perpendiculaire au plan de la figure, le couple vaut explicitement :

$\vec{\Gamma} \ = \ 2 \ d \ F \ \vec{u} - Wikipedia Orange$

Exemples d'autres représentations

On peut représenter le même couple $\vec{\Gamma} - Wikipedia Orange$ que dans l'exemple précédent par d'autres ensembles d'actions mécaniques. Par exemple, par deux forces :

l'une, $\vec{F}_1$ , appliqué au point $O - Wikipedia Orange$ .

l'autre, $\vec{F}_2 \ = \ - \ \vec{F}_1$ , appliqué en un point $M_3$ situé à une distance non nulle de l'origine $O - Wikipedia Orange$ .

Ainsi, la résultante $\vec{R} \ = \ \vec{F}_1 \ + \ \vec{F}_2 \ = \ \vec{0}$ est toujours nulle. Pour simplifier, on peut encore supposer que les vecteurs $\vec{F}_1$ et $\vec{F}_2$ sont perpendiculaires au vecteur $\vec{OM_3} - Wikipedia Orange$ :

Pour retrouver la même valeur du couple : $\vec{\Gamma} \ = \ 2 \ d \ F \ \vec{u} - Wikipedia Orange$ , il suffit de prendre par exemple une combinaison du type :

$|| \vec{OM}_3 || = d$ et : $|| \vec{F}_1 || = || \vec{F}_2 || = 2F - Wikipedia Orange$

ou : $|| \vec{OM}_3 || = 2d$ et : $|| \vec{F}_1 || = || \vec{F}_2 || = F - Wikipedia Orange$

Il existe une infinité de représentations possibles ...

Articles connexes

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